PROJECTE "SAPERE AUDE" - IMMANUEL KANT

 

Ramon Llull precursor del sudoku (?)

Per matar l'aranya, estam desenvolupant un algorisme per a generar sudokus. Però això no és res de l'altre món, la peculiaritat és que aquest algorisme està inspirat en la combinatòria lul·liana!!!  

Ramon Llull Art Brevis edició Pere Daguí 1485

De tots és sabut que qualsevol recerca que es preï sobre la història del càlcul computacional presenta a Ramon Llull (1232-1316) com el seu precursor. El potencial de la combinatòria lul·liana fou posat de relleu pel filòsof i matemàtic Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) a qui li devem, entre moltíssimes altres coses, el sistema numèric binari, fonament del sistema lògic computacional. Doncs bé, resulta que el tractament de la informació amb notació binària ( 1/0 = Vertader/Fals) té el seu origen, mira per on, en l'art de trobar veritat del nostre Ramon Llull.

L'ART lul·lià respon al darrer dels tres objectius que es plantejà Llull en el moment de la seva conversió: "escriure el millor llibre del món contra els errors dels infidels". L'Ars Magna (1271) és aquest millor llibre!!! Amb el pas del temps, i fent front a les severes crítiques que va rebre des de diferents cercles intel·lectuals del moment, l'ART va tenir diferents reformulacions al llarg de gairebé 37 anys: l'Art demostrativa (1275-81), l'Ars inventiva veritatis (1289), la Taula general (1293), la Logica nova (1303), fins que aconsegueix donar-li la forma definitiva amb l'Ars generalis ultima. Aquesta darrera redacció de l'Art fou començada per LIull a Lió, en 1305, i acabada a Pisa, en 1308. A tall d'introducció, Llull escrigué encara aquest mateix any el compendi anomenat Ars brevis (Colomer 1979).

Obra de Subirachs dedicada a Ramon Llull 

que formà part de l'exposició 

"Thinking Machines. Ramon Llull and the ars combinatoria"

 Lausana (Suïssa)

És en l'Ars inventiva veritatis (1289) on Llull presenta la primera simplificació de l'Art, passant de les 16 figures de l'etapa quaternària a les 4 que definirien el seu model ternari. La cosa no acaba aquí, i no serà fins a la redacció de l'Ars magna generalis ultima (1305-08) i l'Art Breu (Pisa 1308), on va establir les quatre figures definitives que nosaltres hem pres com a referència.  

Les figures lul·lianes són una gran novetat en el pensament filosòfic medieval perquè van més enllà de la lògica sil·logística deductiva-expositiva aristotèlica i proposen un model amb caràcter inventiu [avantsala dels propòsits la nova ciència de Francis Bacon [1561-1626)]. S'ha dit d'aquestes figures (Bonner 2012) que són precursores del raonament diagramàtic o, també, de la teoria de grafs, formulada per Leonhard Euler (1707-1783) quan publicà Els set ponts de Königsberg (1736). Disposar d'aquestes eines en l'actualitat ens fa admirar més encara, si això fos possible, l'enginy del mestre il·luminat.

Aquestes quatre figures lul·lianes són les que ens han servit d'inspiració per a dissenyar l'algorisme "lul·lià" per a generar sudokus. 

Amb aquest projecte NO ens volem afegir a la llarga llista d'atribucions precursores que se li han atorgat a Llull al llarg de la història. Simplement volem deixar palès el nostre interès per Llull i el repte d'enginyar-nos-la per a construir una "màquina" generadora de sudokus a partir del que les quatre figures de l'etapa ternària de l'ART ens inspiren. Val a dir que aquesta "mecànica de trobar sudokus" l'hem dissenyada amb la potentíssima aplicació Microsoft® Excel® 365.

Seguidament passarem a explicar el nostre projecte començant per exposar què signifiquen cadascuna les quatre figures en el context de l’etapa ternària de l’ART i en quin sentit ens han inspirat la “mecànica de trobar sudokus”.

• La primera (Figura A) és un cercle dividit en nou cambres, en cadascuna de les quals hi apareix una lletra (BCDEFGHIK) Aquestes representen les nou dignitats o axiomes (en el sentit de punt de partença): B: bonesa, C: grandesa, D: eternitat/duració, E: poder/potestat, F: saviesa/instint, G: voluntat/apetit, H: virtut, I: veritat, K: glòria. Aquestes dignitats eren el punt de confluència en el "credo" de les tres religions: cristiana, jueva i sarraïna. Llull tenia clar que per superar allò que separa les tres religions, calia partir d'allò que les uneix, val a dir, dels atributs que casdascuna de les religions accepta com a propis de la divinitat (Déu - Jehovà - Al·là)
• Les esmentades nou lletres (tot fugint del sentit lul·lià originari) són, en substitució dels 9 números tradicionals del sudoku, la base de la nostra notació del sudoku lul·lià que, fent broma, a partir del seu significat i de la transcripció del japonès, ara s'hauria de dir  MOJI DOKU (LLETRA única), en consonància amb el nom originari SU DOKU (XIFRA única). 
• Aquestes nou lletres de la Figura A (BCDEFGHIK) segueixen la correlació de les nou primeres lletres de l'alfabet, deixant la lletra "A" per a designar la divinitat, i omitint la lletra "J" que no existia en l'alfabet llatí.

Ramon Llull Figura A

• La segona (Figura T) és la que ateny als principis relatius. S'anomenen relatius perquè estableixen els modes de relació que hi ha entre els principis absoluts, i d'aquesta manera permeten, per exemple, afirmar o negar llur diferència, concordança o contrarietat, relacionar-los a títol de principi, mitjà o fi i comparar-los entre ells en la línia de la majoritat, la igualtat o la minoritat (Colomer 1978 p.121) 
• Està formada per tres triangles de colors diferents representats, respectivament, per les lletres BCD, EFG i HIK, que remeten a tres grups de principis: B: diferència C: concordança D: contrarietat (Triangle verd);  E: començament  F: mitjà  G: fi (Triangle vermell); i H: majoritat  I: igualtat K: minoritat (Triangle groc). 
• Aquesta figura representa un aspecte molt interessant en la mecànica combinatòria lul·liana i a nosaltres ens ha inspirat dues coses: 
• La manera de generar les nou submatrius [3x3]
• El bucle que controla l'estricta unicitat de les lletres en cada fila i columna de la matriu genèrica [9x9] i en cadascuna de les 9 submatrius [3x3].

A tall d'exemple, el primer dels tres blocs horitzontals del sudoku quedaria configurat seguint el patró triangular següent (verd, vermell i groc):

B   C   D     E   F   G     H   I   K

E   F   G     H   I   K     B   C   D

H   I   K     B   C   D     E   F   G

Ramon Llull Figura T

• La tercera figura és auxiliar de la primera i de la segona. Les lletres fan referència al subjecte i al predicat de judicis factibles. L'estructura lògica consisteix a cercar el mitjà que pot unir-los. 
• Aquesta figura, que ve a ser una matriu d’adjacència, ens ha inspirat el desplegament de les permutacions de les 9 lletres i la seva disposició inicial en el taulell del sudoku. 

Càlcul de les 362.880 permutacions utilitzant EXCEL

• Hem arribat a la conclusió que en la primera fila de cada sudoku possible hi trobarem una de les 362.880 permutacions de les nou lletres que utilitzam, tot seguint la notació lul·liana, [BCDEFGHIK] i des d'aquesta fila arrenca tot l'acurat desplegament de les 8 files restants, mitjançant un sistema de distribució seqüencial de les lletres que és capaç de generar "infinits" sudokus: la xifra és tan exagerada que fa peresa calcular-la, però sobrepassa amb escreix números de 12 xifres. Es pot consultar un estudi curiós i exhaustiu a Mathematics of Sudoku .

Ramon Llull Tertia Figura

• La quarta figura consta de tres cercles concèntrics mòbils. Cadascun té nou caselles, amb les nou lletres esmentades. Les rodes es poden girar i cada moviment genera una combinació de lletres diferents (252). La combinatòria lul·liana pretenia ser en exhaustiu mecanisme de plantejar totes les preguntes possibles a partir dels termes de l'alfabet de l'ART i de calcular-ne la veritat (1) o falsetat (0) de les respostes factibles, fins al punt d'assegurar-se que cap d'elles quedés sense resposta. 
• Està clar que en Llull la finalitat d'aquest ART tenia un caire missional: ara intentar convèncer als sarraïns no dependrà de la perícia del predicador per argumentar i contra-argumentar amb els seus interlocutors, sinó de l'habilitat de calcular les possibles preguntes i, també, les respostes pertinents demostrades deductivament. Aquest aspecte aporta un avenç significatiu en l'àmbit filosòfic medieval en tan que albira la superació de les inacabables discussions per autoritats (magister dixit).
• Aquesta Quarta Figura, no podia ser cap altra, és la clau de tots els pressupòsits inicials del nostre algorisme, perquè estableix les permutacions possibles de la primera fila del sudoku (9!), punt de partida de la nostra "mecànica de trobar sudokus". 

Ramon Llull Quarta Figura

Per a generar els sudokus teníem clar que ho havíem de fer de la forma més "mecànica" possible. Així, tal com hem explicat en la Tercera Figura, escollim qualsevol de les 362.880 permutacions factibles per a la primera fila de la graella del sudoku i després, de forma "mecànica", s'emplenen les altres caselles seguint diversos patrons de seqüenciació per tal de respectar les regles de joc del sudoku.

Model de combinatòria directa utilitzant l'estructura triangular sense variacions de la Figura T

Abans, quan parlàvem de la Figura T, ja hem esmentat en què consistia aquesta mecànica: fer rodar seqüencialment els tres triangles, tal com es pot veure en la imatge anterior. Aquesta seqüència és una de les moltes que utilitzam i que ens asseguren una estructuració correcta del sudoku, respectant totes i cadascuna de les seves regles.

VERD   VERMELL    GROC

VERMELL    GROC   VERD

GROC   VERD   VERMELL

A partir d'aquí, i per rompre les seqüències correlatives massa evidents, jugam amb la permutació de les columnes, les files, els blocs horitzontals i verticals... Alhora, cadascuna de les matrius resultants de les permutacions és transposada. I tot això ho fem utilitzant el potencial que ofereixen de les macros d'EXCEL!!!

En aquest punt hom podria argumentar que ens botam molt lleugerament tots els condicionaments lul·lians que hem tingut presents fins ara. Aquesta asseveració no és del tot certa perquè les línies rectes de 1'interior del cercle de la Figura A, volen significar que els termes representats per les respectives lletres es permuten entre ells. Per exemple, B = K i K = B, o sigui, la bonesa es gloriosa i la glòria bona (Colomer 123). Per la qual cosa la nostra incontrolada llicència permutacional per fugir de l'evidència seqüencial de la solució d'alguns sudokus queda més que inspiracionalment justificada.

Per a arrodonir la cosa, hem elaborat unes "plantilles de sortida"  per a generar la vista del sudoku final, és a dir, el que s'ha de resoldre. La plantilla segueix un patró, tot depenent del grau de dificultat del sudoku, que dibuixa dues creus més o manco definides: 

• una creu grega en remembrança de les cinc aparicions de Jesús crucificat que va tenir Llull i que desencadenaren la seva "conversió". [Vita coetanea (obra autobiogràfica de 1311 on Llull descriu els esdeveniments que motivaren el tomb que donà a la seva vida, més o manco, al voltant dels 32 anys)]
• una creu de Sant Andreu en al·lusió a la seva mort com a màrtir.

Sudoku lul·lià. Grau de dificultat: MESTRE (25 caselles inicials) by APM

El grau de dificultat l'hem establert utilitzant la nomenclatura de la Jerarquia de l'Ordre del Temple, fent referència a l'hospitalitat que li oferiren els Templers quan el 1301(?) Llull va patir un enverinament (possiblement dels seus mateixos servents) i anà a Limassol (Xipre) a recuperar-se. En aquesta ciutat, situada en el sud de l'illa, l'Ordre hi tenia afamats metges. A las acaballes de l'any, o a principis de 1302 Llull va trobar-se amb Jacques de Molay (1240-1314) qui fou l'últim Gran Mestre del Temple, i pel qual sentia una declarada simpatia.

En aquesta ocasió, tot partint del nombre de caselles emplenades d'inici i, sense que hi hagi per a tal finalitat cap criteri fixat, hem establert 5 graus de dificultat:

• Gran Mestre: 20-24  [GM]
• Mestre:           25-30  [ME]
• Senescal:        31-35  [SE]
• Mariscal:       36-40  [MA]
• Draper:          41-45  [DR]

Pel que hem contrastat fins ara, els graus de dificultat poden tenir els llindars bastant permeables, és a dir, el que és dificultat Gran Mestre, segur que és Gran Mestre; però, el que és dificultat Mestre pot ser molt fàcilment nivell Gran Mestre. El mateix aplica per als altres nivells de manera correlativa.

La nomenclatura dels sudokus indica el grau de dificultat seguit de la permutació específica de la primera fila. Per exemple, GM-254367 les lletres indiquen el grau de dificultat del sudoku Gran Mestre [GM] (ve determinat per la quantitat de caselles que apareixen emplenades en la plantilla de sortida o caràtula que triem) i la xifra posa de relleu que la primera fila del sudoku és la combinació 254367. Aquest número, al seu torn, és la clau per a consultar, en cas de necessitat, algunes pistes o la solució del sudoku.

T'atreveixes a resoldre'n algun?

Sudoku LLULL GM-254367 by APM

Sudoku LLULL ME-164367 by APM

Sudoku LLULL SE-123456 by APM

Sudoku LLULL MA-34523 by APM

Sudoku LLULL DR-345237 by APM

BIBLIOGRAFIA

• BONNER, Anthony (1989): Obres Selectes de Ramon Llull (Palma de Mallorca: Moll), vol. I, pp. 523-599.
• BONNER, Anthony (2007): The Art and Logic of Ramon Llull. A User's Guide (Leiden: Brill). 
• BONNER, Anthony (2012): L'Art i la Lògica de Ramon Llull. Manual d'ús, traducció d'Helena Lamuela, Barcelona-Palma: Universitat de Barcelona-Universitat de les Illes Balears, "Col·lecció Blaquerna, 9).
• COLOMER I POUS, Eusebi (1979): De Ramon Llull a la moderna informàtica.  Studia lulliana, ISSN 1132-130X, Vol. 23, Nº. 68-69, págs. 113-135
• CRUZ HERNÁNDEZ, Miguel (1977): El pensamiento de Ramón Llull. Barcelona. Castalia.